MATERI INTEGRAL PERSIAL

Pada pembahasan ini kita akan berlatih menemukan antiturunan dengan menggunakan integral parsial. Selain itu, di bagian akhir pembahasan ini, kita juga akan menggunakan metode tabulasi dalam melakukan proses integral parsial tersebut. Teknik integral parsial dapat diterapkan dalam berbagai macam fungsi, dan secara khusus teknik tersebut sangat berguna ketika dijumpai integran yang melibatkan perkalian fungsi-fungsi aljabar dan transendental. Sebagai contoh, integral parsial akan sangat berfungsi dengan baik untuk menyelesaikan,

Integral parsial didasarkan pada rumus turunan dari perkalian dua fungsi.

di mana u dan v adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan dalam x. Jika u’ dan v’ kontinu, kita dapat mengintegralkan kedua ruas dari persamaan di atas dan memperoleh

Dengan menulis kembali persamaan di atas, diperoleh teorema berikut.

Teorema 1: Integral Parsial

Jika u dan v adalah fungsi-fungsi dalam x yang kontinu dan terdiferensialkan, maka

Rumus integral parsial ini menyatakan integral aslinya ke dalam bentuk integral yang lain. Berdasarkan pemilihan u dan dv, akan lebih mudah menyelesaikan bentuk integral yang kedua daripada bentuk aslinya. Karena pemilihan u dan dv sangatlah krusial dalam proses integral parsial, berikut ini panduan dalam memilih u dan dv.

Panduan dalam Proses Integral Parsial

Cobalah untuk memisalkan dv sebagai bagian yang sangat rumit dari integran yang sesuai dengan aturan dasar integral. Sehingga u merupakan faktor lainnya dari integran.
Cobalah untuk memisalkan u sebagai bagian dari integran yang turunannya lebih sederhana dari u. Selanjutnya dv merupakan faktor integral lainnya.

Perhatikan bahwa dv selalu memuat dx dari integran aslinya.

Untuk lebih memahami bagaimana menyelesaikan permasalahan integral dengan menggunakan metode integral parsial, perhatikan beberapa contoh berikut.

Contoh 1: Integral Parsial

Tentukan,

Pembahasan Untuk menerapkan integral parsial, kita perlu untuk menuliskan integral tersebut ke dalam

Terdapat beberapa cara untuk melakukan hal tersebut, yaitu

Panduan dalam pemilihan u dan dv sebelumnya menyarankan kita untuk memilih pilihan pertama karena turunan dari u = x lebih sederhana dari x, dan dv = ex merupakan bagian yang paling rumit dari integran yang sesuai dengan aturan dasar integral.

Sekarang, dengan integral parsial akan dihasilkan

Untuk memeriksa hasil pengintegralan ini, kita dapat menurunkan hasil tersebut untuk mendapatkan integran aslinya.

Catatan Pada contoh 1 di atas kita tidak perlu menuliskan konstanta ketika menyelesaikan

Untuk mengilustrasikan hal ini, cobalah mengganti v = ex dengan v = ex + C1 kemudian terapkan proses integral parsial untuk melihat bahwa kamu akan mendapatkan hasil yang sama.

INTEGRAL REDUKSI TRIGONOMETRI

Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = "tiga sudut" dan metron = "mengukur") adalah sebuah cabang matematika yang mempelajari hubungan yang meliputi panjang dan sudut segitiga. Bidang ini muncul di masa Hellenistik pada abad ke-3 SM dari penggunaan geometri untuk mempelajari astronomi.

Pada abad ke-3 Masehi astronom pertama kali mencatat panjang sisi-sisi dan sudut-sudut dari segitiga siku-siku antara masing-masing sisi yang memiliki hubungan: ini dia, jika setidaknya salah satu panjang sisi dan salah satu nilai sudut diketahui, lalu semua sudut dan panjang dapat ditentukan secara algoritme. Penghitungan ini didefiniskan menjadi fungsi trigonometrik dan saat ini menjadi dalam bagian matematika murni dan terapan: contohnya untuk menganalisa metode dasar seperti transformasi fourier atau gelombang persamaan, menggunakan fungsi trigonometrik untuk memahami fenomena hal yang berhubungan dengan lingkaran melalui banyak penggunaan dibidang yang berbeda seperti fisika, teknik mesin dan listrik, musik dan akustik, astronomi, dan biologi. Trigonometri juga memiliki peranan dalam menemukan surveying.

Trigonometri mudah dikaitkan dalam bidang segitiga siku-siku (yang setiap dua ukuran sudut sama dengan satu sudut 90 derajat). Peranan untuk bukan segitiga siku-siku ada, tapi, sejak segitiga yang bukan siku-siku dapat dibagi menjadi dua segitiga siku-siku, banyak masalah yang dapat diatasi dengan penghitungan segitiga siku-siku. Karena itu sebagian besar penggunaan berhubungan dengan segitiga siku-siku. Satu pengecualian untuk ini spherical trigonometry, pelajaran trigonometri dalam sphere, permukaan dari curvature relatif positif, dalam elips geometri (bagian yang berperan dalam menemukan astronomi dan navigasi. Trigonometri dalam curvature negatif merupakan bagian dari geometri hiperbola.

Rumus :

Untuk kali ini kita akan mencoba untuk membabas Integral yang memiliki bentuk sebagai berikut ini.

Dimana m dan n merupakan bilangan bulat positif, untuk menemukan antiturunan dari bentuk-bentuk diatas, maka sobat pecahlah bentuk tersebut menjadi kombinasi integral trigonometri sedemikian sehingga kita dapat menggunakan Aturan Perpangkatan.

Untuk lebih jelasnya, mari kita lihat contoh berikut, Kita dapat menyelesaikan integral berikut ini dengan memisalkan u = sin x. Sehingga, du = cos x dx dan diperoleh seperti di bawah ini.

Contoh Soal Dan Penyelesaian Secara Lengkap

1. Pangkat dari Sinus Ganjil dan Positif

Tentukanlah.! :

Pembahasan : Oleh Karena kita berharap untuk menggunakan Aturan Perpangkatan dengan u = cos x, maka simpan satu faktor sinus untuk membentuk du dan ubah faktor-faktor sinus sisanya menjadi cosinus.

MATERI INTEGRAL SUBSITUSI TRIGONOMETRI

Selain dengan cara subtitusi dan parsial, perhitungan integral juga bisa dilakukan dengan metode substitusi trigonometri yakni, mengubah/memisalkan variabel pada fungsi yang ingin diintegralkan dengan trigonometri.

Metode substitusi trigonometri digunakan jika pada fungsi yang akan diintegralkan berbentuk atau mengandung unsur:

Contoh 1: Substitusi Trigonometri: u = a sin θ

Selesaikan,

Pembahasan Untuk menggunakan substitusi trigonometri, kita harus melihat bahwa √(9 – x²) merupakan bentuk dari √(a² – u²). Sehingga kita dapat menggunakan substitusi

Sehingga, persamaan yang menghubungkan variable x dan θ di atas dapat dimodelkan ke dalam segitiga siku-siku sebagai berikut.

Dengan menggunakan turunan dan segitiga di atas, kita mendapatkan

Sehingga, dengan menggunakan substitusi dihasilkan

MATERI INTEGRAL FUNGSI RASIONAL

Integral Fungsi Rasional

Dalam teknik integrasi, banyak sekali jenis-jenis fungsi yang akan kita temui. Mulai dari fungsi linier, fungsi kuadrat, fungsi trigonometri, fungsi irasional dan salah satunya adalah fungsi rasional. Yang akan dibahas kali ini adalah teknik integrasi untuk fungsi rasional. Sebelumnya, kembali pada pengertian fungsi rasional itu sendiri yaitu fungsi yang memiliki bentuk :

f(x)=g(x)/h(x) , dimana g(x) dan h(x) adalah fungsi polinomial.

Dalam teknik pengintegralannya, fungsi rasional dibagi menjadi 2 bagian yaitu:

Derajat pembilang lebih besar dari derajat penyebut
Derajat pembilang lebih kecil dari derajat penyebut

Pembilang merupakan turunan dari penyebut

Faktor Linier yang Berbeda pada Penyebut
Faktor Linier yang berulang
Faktor Linier Berbeda dan Ada yang berulang
Penyebut mengandung faktor kuadrat tunggal
Penyebut mengandung faktor kuadrat berulang

Dalam tulisan kali ini kami akan membahas teknik pengintegralan untuk bagian Penyebut mengandung faktor kuadrat tunggal dan faktor kuadrat berulang.

INTEGRAL FUNGSI RASIONAL KUADRAT

INTEGRAL FUNGSI KUADRAT
Dalam teknik integrasi, banyak sekali jenis-jenis fungsi yang akan kita temui. Mulai dari fungsi linier, fungsi kuadrat, fungsi trigonometri, fungsi irasional dan salah satunya adalah fungsi rasional. Yang akan dibahas kali ini adalah teknik integrasi untuk fungsi rasional. Sebelumnya, kembali pada pengertian fungsi rasional itu sendiri yaitu fungsi yang memiliki bentuk :

f(x)=g(x)/h(x) , dimana g(x) dan h(x) adalah fungsi polinomial.

Dalam teknik pengintegralannya, fungsi rasional dibagi menjadi 2 bagian yaitu:

Derajat pembilang lebih besar dari derajat penyebut
Derajat pembilang lebih kecil dari derajat penyebut

Pembilang merupakan turunan dari penyebut

Faktor Linier yang Berbeda pada Penyebut
Faktor Linier yang berulang
Faktor Linier Berbeda dan Ada yang berulang
Penyebut mengandung faktor kuadrat tunggal
Penyebut mengandung faktor kuadrat berulang

Dalam tulisan kali ini kami akan membahas teknik pengintegralan untuk bagian Penyebut mengandung faktor kuadrat tunggal dan faktor kuadrat berulang.

Integral Fungsi Kuadrat merupakan suatu fungsi yang pangkat terbesar variabelnya adalah 2. Mirip dengan persamaan kuadrat, namun berbentuk suatu fungsi.

Bentuk umumnya adalah:

, dengan

suatu bilangan real dan

Contoh:

Dengan demikian,

MATERI INTEGRAL TENTU

Pengertian Integral

ada dua hal yang dilakukan dalam integral sehingga dikategorikan menjadi 2 jenis integral. Yakni:

Yang Pertama yaitu: Integral sebagai invers atau kebalikan dari turunan yang disebut sebagai Integral Tak Tentu. Yang Kedua yaitu: Integral sebagai limit dari jumlah atau suatu luas daerah tertentu yang disebut Integral Tentu.

Integral Tentu

Landasan dasar mengenai integral tentu pertama kali diperkenalkan oleh seorang ilmuan terkenal yaitu Newton dan Leibinz yang kemudian diperkenalkan lebih lanjut secara modern oleh Riemann.

Pengertian Integral ini memiliki batas atas dan batas bawah. Didalam aplikasinya, integral tentu banyak digunakan untuk menghitung luas di bawah kurva dengan batas-batas tertentu atau menghitung volume benda jika diputar.